從 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA_Uniswap:CUR

作者介紹：

0xmc@0xreviews:機制審計、產品設計、密碼經濟學獨立研究員。

0xjezex@0xreviews:代幣經濟學獨立研究員，初級Solidity工程師，倫敦帝國理工學院金融科技碩士生。

0xstan@0xreviews:獨立開發者，DappLearning核心貢獻者。

paco@perp.com:Solidity開發者、安全研究員、DeFi愛好者。

前言

Curve穩定幣最難的部分是LLAMMA。LLAMMA參考了Uniswapv3中的一些原則。但是，白皮書中的價格與Uniswapv3白皮書中的算法不同。我們將統一這兩個項目，并嘗試了解CurveCEO是如何設計這個演算法。

用Uniswapv3作為參考

本文中價格的定義與Uniswapv3互為倒數。因此，我們修改了Uniswapv3白皮書中的公式，讓它與本文保持一致。簡而言之，LLAMMA試圖讓Uniswapv3中的一切都變得動態，以便為crvUSD債務人和清算人提供更適當的價格。

恒定乘積公式(ConstantProductFomula)比較

Uniswapv3白皮書中的公式(2.2)：

交通銀行香港子公司正與多家香港持牌加密公司合作:4月17日消息，據《華爾街日報》援引幾家加密貨幣公司透露，中國交通銀行股份有限公司香港子公司正與多家在香港獲得牌照的加密貨幣公司合作，并正在與其他受監管的公司就為其開立賬戶進行磋商。

4月14日，HashKey Group旗下合規交易平臺HashKey PRO已經與ZABank和交通銀行（香港）建立了伙伴關系，作為結算銀行，提供法幣的存款和提款服務。[2023/4/17 14:08:26]

圖一：Uniswapv3虛擬流動模擬

Curve穩定幣白皮書中的公式(1)：

圖二:有外部價格來源的AMM

在這裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

而對應關係為：

Succinct Labs推出基于zkSNARKs的以太坊互操作協議Telepathy:3月17日消息，Succinct Labs 宣布推出基于 zkSNARKs 的以太坊互操作協議 Telepathy。該協議允許開發人員借助以太坊輕客戶端協議的安全性實現從以太坊到其他鏈的無信任通信。目前該協議已上線主網并發布 Demo 供用戶體驗。[2023/3/17 13:10:07]

對應的恒定乘積公式為：

而在這之間：

流動性計算公式對應

Uniswapv3白皮書中的公式(6.7)：

由于它們的價格定義之間存在倒數關係，對應的公式為：

余弦：黑客可通過Seaport協議matchAdvancedOrders函數售賣被OpenSea拉黑的NFT:1月23日消息，慢霧科技創始人余弦在社交媒體上發文表示，被OpenSea標記拉黑的 NFT，黑客可以通過OpenSea Seaport協議的matchAdvancedOrders函數完成售賣。這樣就繞過了OpenSea的安全策略（拉黑不可售賣），不過這里需要有買家bid了offer。

此前BAYC第6大持有者Franklin在社交媒體上發文表示一周內兩次有人使用matchAdvancedOrders功能向其出售被標記為可疑活動審查中（黃色標記）的竊取 BAYC NFT。[2023/1/23 11:27:00]

此公式的一個具體應用是：

平方展開可以得到：

從上面的公式我們很容易的可以了解，當y0保持不變，Pcd和Pcu數值越接近，相對應的流動性I則越大。

換句話說：

Cardano(ADA)是2022年開發活動最多的區塊鏈協議:12月30日消息，據鏈上和社交指標平臺Santiment發布的數據， Cardano已被評為 2022 年開發活動最多的區塊鏈協議，其次是 Polkadot ( DOT ) 和 Cosmos ( ATOM )。今年經歷了重大合并升級的以太坊（ETH ）位居第四，其次是互聯網計算機（ICP），Elrond（EGLD），Flow（FLOW）Optimism（OP），Aptos（APT）和Polygon（MATIC），排名第 10。Cardano 團隊在 2022 年全年的開發活動率是所有觀察到的協議中最高的，盡管就代幣銷售以來的投資回報率 (ROI) 而言，ADA 排名第六。[2022/12/31 22:17:37]

流動性不可能是無限的,在UniswapV3中對應最小的tick會限制L的大小。

由此可以推斷在LLAMMA中，我們還需要定義一個指標來衡量價格之間的最小差異，來繼續Uniswapv3和Curve的類推。

對應最小差價

從A的定義中可以看出?,當p↓和p↑越接近時，A則越大，流動性集中度越高：

比特幣礦工在7月份賣出的BTC較6月減少了60%:金色財經報道，Arcane Research?8月15日報道稱，比特幣礦工在7月份出售了 6500個比特幣，而前一個月約為14600個，當時他們被迫大規模拋售BTC以維持運營。上市礦業公司的比特幣拋售在兩個月之間減少了一半以上，跌幅接近 58%。[2022/8/16 12:29:28]

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被預設。因此，tickSpacing決定了LP分配流動性的最低價格范圍。tickSpacing越小，價格范圍越窄、越精確。在Uniswapv3中，不同的費用等級決定了不同的tickSpacing。

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麼多tickSpacing。由于LLAMMA僅有ETH-crvUSD,因此只需要讓每一個tickSpacing=100basepoint。?

來自Uniswapv3的公式(6.1)：

在LLAMMA中，A=100，來自Curve穩定幣白皮書的公式(11)：

設置n=-i,A=100,我們會得到：

設計Pcd和Pcu

我們希望LLAMMA具有以下屬性：當ETH價格上漲時，礦池購買ETH。當ETH下跌時，礦池出售ETH。在這樣的機制下，我們把Pcd和Pcu定義為Po的函數并且比線性函數更陡峭，因此它們的增長率會比Po更快。同時從圖中可以看出兩條曲線Pcu和Pcd分別通過兩點(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。滿足以上要求的Pcd和Pcu其實有很多曲線。通用公式為：

當m<n

讓我們從最簡單的例子開始：

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

然后f2可以計算為：

不難發現f2在這種假設下很難理解和計算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函數:

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

重新計算f2：

可以看出，當?Pcu和Pcd是Po的三次函數，整個數學形式就簡單多了。去掉了平方根項，計算方便多了。如果接受更高的訂單，則AMM的價格和Po將相差很大，因此購買ETH的成本會更高，而導致更大的清算損失。總之，把Pcu和Pcd定義為Po的三次函數是一個更好的選擇。

其他參數的推導

Pcu和Pcd是關于Po的三次函數,取特別數值Po=P↑,不難得到Y=Y0和X=0，于是：

鑒于I的公式，我們可以計算f和g：

在這邊，我們最終得到完整的恒定乘積公式：

將上方公式轉化為Y0二次方程式：

用一個未知數的二次方程求解Y0：

如果價格變動的夠慢讓預言機價格Po完全有能力遵循它，給定X和Y，使用Uniswapv3的計算公式，是有可能計算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最終將處于的區間內：

參考出處：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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