深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理_ETH:SWAP

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。

何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1

在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

現場 | 觀點：區塊鏈技術需要深入場景才能形成產業:金色財經現場報道，10月15日，華山論劍2020網絡安全大會于西安召開，在大會的區塊鏈安全與應用創新分論壇圓桌討論環節，

基石基金管理合伙人秦少博分享表示，區塊鏈創新型的業務需要承擔比較大的沉默成本，在區塊鏈領域創業需要考量自身能力。區塊鏈技術需要深入場景才能形成產業，過去5年由幣引發的熱潮已經越發理智。把區塊鏈作為技術、生產力討論更合適。不宜與太大的市場概念結合。

中國移動研究院安全技術研究所所長何申分享表示，從通信行業看待區塊鏈，會從系統工程高度去看，當區塊鏈從節點成網形成共識，需要考慮節點的安全。此外，可信是一種保障預期方案，區塊鏈是一種方案，兩種方案的協同，是通信領域的重點。對于區塊鏈透明性帶來的隱私問題可以通過隱私技術解決，但可能在公鏈場景里比較難實現。[2020/10/15]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。

聲音 | 國家醫療保障局副局長：國家醫療保障局將深入研究引入區塊鏈等先進技術:金色財經報道，國家醫療保障局副局長施子海表示，國家醫療保障局將不斷探索創新，深入研究引入5G和區塊鏈等先進技術，加快完善電子憑證功能和推廣應用，不斷優化設計、完善功能、簡化流程，提升群眾使用體驗，加強業務協同。[2019/11/26]

在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=k

UniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

由于為資產添加了杠桿，使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍內，一組較小的儲備x、y能夠充當更大的儲備x+x'、y+y'。

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬AMM曲線。在實際交易曲線中，下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在B點或C點時，處于強勢的資產將被損耗為0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

如下圖3：

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線

聲音 | 律師劉曄：法院可以更一步深入了解并思考比特幣SV的屬性:上海市海上律師事務所合伙人劉曄在微博表示：當法院進一步思考時，當知道，比特幣并非虛擬財產而是真實財產。當更一步深入了解并思考時，當知道，比特幣SV乃遵循比特幣白皮書的原始理念，乃真正比特幣，其不僅僅是真實財產，且以提供真實賬本空間服務的形式在實現真實商品屬性的同時（當下法律），也逐漸走向成為全球貨幣之路（未來法律）。據媒體報道，今日，首例比特幣財產侵權糾紛案在杭州互聯網法院開庭宣判。本次庭審法院確認了比特幣“虛擬財產”屬性。[2019/7/18]

根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2

對其開根號，即有

而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：

根據式3，對其取平方根，即有：

聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：

同理可消去y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。

計算虛擬資產(x'/y')

動態 | SAP與蘇寧將在區塊鏈等領域開展深入研究:在“第9屆中德經濟技術合作論壇”上，中國國務院總理李克強與德國總理默克爾，共同見證了SAP與蘇寧控股集團的戰略合作簽約。根據合作協議，未來，雙方將聯合開展技術創新和行業實踐，在人工智能、機器學習、區塊鏈、物聯網等領域開展課題研究，共同促進數字經濟發展。[2018/7/10]

圖4虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。

也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。

根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

同理，我們計算C點，此時用戶提供的y資產由于在實際中已全部損耗，即有y=0，剩余的y均為虛擬出來的，即y'。則有

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

于是，我們得到完整UniswapV3的AMM曲線，見式9：

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

注：下圖摘自UniswapV3白皮書，區間為，任意一點被選擇為c

福建省法院網信辦主任郭金焰：推動大數據、區塊鏈等與法院工作的深度融合、深入應用:福建省法院網信辦主任郭金焰介紹，法院系統將把科技理性與司法理性“兩個智慧”融合好，把制度優勢和技術優勢“兩個優勢”結合好，把制度鐵籠和數據鐵籠“兩個鐵籠”建構好，推動大數據、云計算、人工智能、移動互聯、區塊鏈等與法院工作的深度融合、深入應用，促進審判體系和審判能力現代化，讓人民群眾充分享受信息化和智慧法院建設帶來的獲得感。[2018/4/22]

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線

隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdams

UniswapV3--添加流動性

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。

當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：

再通過△L計算△y:

于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。

UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

將根號后的起始價格P和結束價格P'帶入，可以計算得到△y≈151.09，而△x≈1.689。

若Swap的資產假設該流動性提供者按照L比例劃分了37.5%，于是該流動性提供者分攤x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。

流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。

UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。

設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得dx≈1.3724,dy≈122.76，即套利者給了122.76個DAI，換走了1.3724個ETH。池子-1.3724個ETH，+122.76個DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%

具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。

無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。

因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

參考

UniswapV3白皮書

UniswapV3新特性解析

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DAI