學習筆記 | 零知識證明算法之PLONK——協議_PLO:UPLOAD

上一篇主要描述了PLONK協議里的一個核心部分，用置換校驗的方法去證明電路門之間的一致性；接下來，將繼續分享如何證明門的約束關系得成立，以及整體的協議剖析。

門約束

舉個簡單的例子，假如存在一個電路，電路中僅有3個乘法門，對應的約束如下：

L1*R1-O1=0

L2*R2-O2=0

L3*R3-O3=0

進行多項式壓縮：定義多項式函數L(X),R(X),O(X)滿足：

L(1)=L1,R(1)=R1,O(1)=O1

L(2)=L2,R(2)=R2,O(2)=O2

L(3)=L3,R(3)=R3,O(3)=O3

此時，定義新的多項式函數F(X)，令F(X)=L(X)*R(X)-O(X)

則有：

F(1)=L(1)*R(1)-O(1)=0

F(2)=L(2)*R(2)-O(2)=0

F(3)=L(3)*R(3)-O(3)=0

也就是表明：如果多項式函數F(X)在X=1,2,3處有零點，則說明門關系約束成立。

多項式函數F(X)在X=1,2,3處有零點則表明多項式F(X)可以被(X-1)(X-2)(X-3)整除，為了和論文一致，我們把這個多項式函數設置成Z(X)，即：

歷史上的今天丨南京市委理論學習中心組專題學習區塊鏈技術:2019年12月22日，南京市委理論學習中心組舉行學習會，專題學習習近平總書記在中央局第十八次集體學習時的重要講話精神，把握區塊鏈技術發展趨勢和應用前景，謀劃我市有關工作。省委常委、市委書記張敬華，市委副書記、代市長韓立明，市人大常委會主任龍翔，市政協主席劉以安，市委副書記沈文祖參加。[2020/12/22 16:08:52]

F(X)=T(X)*Z(X)==>T(X)=F(X)/Z(X)

如果能證明T(X)是一個多項式，則說明多項式F(X)與Z(X)有相同的零點，進而說明門約束關系成立。

一般過程應該如下：

1.P計算F(X)并把F(X)發送給V；

2.V根據Z(X)直接校驗F(X)/Z(X)

但是如此過程存在兩個問題，一個是復雜性問題，假如F(X)的階為n，那通信復雜度就是O(n)；而是安全性問題，多項式F(X)完全暴露給V。

那應該如何解決這兩個問題呢？最佳的答案可能就是：多項式承諾

多項式承諾

什么是多項式承諾？就是證明方P用一個很短的數據來代表一個多項式F，這些很短的數據可以被驗證方V用來驗證多項式F在某一點的值確實為證明方P聲稱的值z。

動態 | 南京市委理論學習中心組專題學習區塊鏈技術:12月21日，南京市委理論學習中心組舉行學習會，專題學習習近平總書記在中央局第十八次集體學習時的重要講話精神，把握區塊鏈技術發展趨勢和應用前景，謀劃我市有關工作。省委常委、市委書記張敬華，市委副書記、代市長韓立明，市人大常委會主任龍翔，市政協主席劉以安，市委副書記沈文祖參加。[2019/12/21]

具體看一下論文里的定義：

由圖可知：

1.Setup:初始化，生成計算多項式承諾需要的一些必備參數；

2.Commit:計算多項式承諾，其結果是一個值；

3.Open:返回與多項式承諾對應的多項式函數；

4.VerifyPoly:驗證多項式承諾是否和多項式函數一致；

5.CreateWitness:證明多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值，具體的數學方法就是：判斷多項式是否能被整除，即：

6.VerifyEval:驗證方V驗證多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值，具體的數學方法是：利用雙線性配對驗證其數學乘法邏輯關系。

聲音 | 學習時報：要警惕區塊鏈技術帶來的制度監管風險、法律漏洞等5種安全風險:12月18日，學習時報刊文《積極做好區塊鏈技術的安全風險評估及治理》。文章指出，區塊鏈技術的前景十分值得期待。但同時，我們要警惕區塊鏈技術帶來的制度監管風險、法律漏洞、社會風險、金融風險和意識形態風險。

為使區塊鏈技術穩健發展，我們非常有必要從上層建筑的角度，對區塊鏈技術安全風險的治理提出相應對策。1.在制度層面，國家應拓寬區塊鏈技術的法律法規覆蓋；2.社會層面，政府應積極發揮對區塊鏈技術治理的優勢效用；3.思想層面，積極發揮價值引領作用。

總而言之，我國必須從實際出發，準確把握技術和產業發展趨勢，多方面多層次加強對區塊鏈技術的規劃和引導，才能有力應對區塊鏈技術帶來的安全風險，維護國家的長治久安。[2019/12/18]

繼續回到我們上面的問題：

證明方如何證明：T(X)=F(X)/Z(X)，我們再簡化一下場景，就令Z(X)=X-1，則:

T(X)=F(X)/(X-1)==>T(X)*(X-1)=F(X)==>T(X)*X=F(X)+T(X)

對應多項式承諾的協議可知：證明方P其實是想證明多項式函數F(X)再X=1處的值為0，因此根據協驗證方只需要證明：

e(Commit(T(x)),x*G)=？e(Commit(F(x))+Commit(T(x)),G)(雙線性配對的性質)

加密貨幣投資人暴走恭親王：加密貨幣的投資，需要花時間學習和了解項目:今日凌晨，著名加密貨幣投資人暴走恭親王發布微博，稱：對于新人而言，我個人的建議是利用這段時間可以多學習行業的知識，我始終認為你只有對行業越了解，你才能對于行業越有信心。如果你對數字貨幣不了解，對參與的項目不了解，對全球發展趨勢不了解，那么群里只要有一些風吹草動，你馬上就會心中生出無數的疑慮，并且很快會在謠言中作出很多讓你可能抱憾終身的決定（這種決定我也做過）。很多人希望在群里面充值信仰，我個人覺得很難，如果你真的能夠把時間花在學習和了解知識以及項目上，那真的可以讓你握住自己的幣。發文疑似是對周末“過山車”行情的觀點表達，他也表示發文是“關于幣本位和充值信仰”。[2018/3/19]

可以看出，利用多項式承諾的數學工具，既可以實現復雜度的優化，又可以實現隱私保護。

協議

接下來分析一下完整的PLONK協議：

Relation

上圖表示了PLONK算法里，要證明的一種關系，需要說明的是：

1.w代表著電路里的輸入、輸出，總共3n個，n是電路里乘法門的數量，每個門都有左輸入，右輸入和輸出，因此w總共有3n個；

美國國會代表Tom Emmer：美國應該向日本學習加密貨幣監管:本周盛頓區塊鏈峰會，美國國會代表Tom Emmer告訴coindesk：“如果監管機構的管理過度擴張，區塊鏈和加密貨幣的變革的能力將永遠不會實現。” Emmer表示，通過學習日本在加密貨幣監管方面的舉措，美國可以做到更好。目前日本只有一個監管機構——金融服務局對加密貨幣擁有管轄權。他認為作為一個機構，應該知道要向哪個方向發展，知道誰負責，知道問題是什么，并且必須做出回應。目前政府監管并不是唯一能夠澄清和確定加密貨幣規則的方法。他表示，實際上加密貨幣行業可以提供很多監管，然后立法人員應該認識到我們希望行業能夠盡其所能。Emmer最后表示，他認為區塊鏈的未來是光明的，但是政府部門必須十分小心。[2018/3/10]

2.q*代表著選擇向量，它的取值對應這這個是乘法門，還是加法門等類似的約束類型

3.σ代表著置換多項式，其表示門之間的一致性約束索引

4.倒數第一個公式代表門之間的約束成立

5.倒數第二個公式代表門的約束關系成立

CRS&P_Input&V_Input

上圖表示了PLONK算法里的CRS設置，以及證明方P和驗證方V的一些輸入，需要說明的是：

1.整個協議都是基于多項式的，因此需要構建對應的多項式形式。

2.多項式σ的階是3n的，由于和多項式承諾相關的CRS最高的階位n+2，因此需要把σ拆分成3個多項式S,分別記錄每個多項式的置換關系(L,R,O);

3.為了減少通信復雜度和保護隱私，協議基于多項式承諾構建，因此驗證方V的輸入都是承諾值。

Prove

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作，需要說明的是：

1.b1,...b9是隨機數，從用法看是為了安全，但是我暫時也沒明白，不加這個隨機數，又會有什么安全問題？

2.a(X),b(X),c(X)分別是代表了電路里的左輸入，右輸入和輸出

3.,,表示多項式的承諾值，參考多項式承諾小節里的承諾計算方法

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作，主要是置換校驗，參考第一篇的置換校驗的協議過程，生成多項式z(X)，需要說明的是：

1.β和?都是用來生成置換校驗函數的參數，詳見第一篇里f`(x)和g`(x)的生成過程；

2.z(X)的生成方式對應置換校驗里跨多項式的生成過程，Li(X)為拉格朗日多項式基，性質滿足，盡在x=i的時候為1，其他為0；

3.注意區分ω和w，ω是群H的生成元，是多項式的自變量的取值。w是電路的左輸入，右輸入和輸出，是多項式L,R,O在在群H上的取值。

上圖表示了PLONK算法里證明方P的一些操作，主要是把門約束和門之間的一致性約束組合到一起，通過α，需要說明的是：

1.根據前面的描述，門約束多項式和一致性約束多項式在群H上的所有元素都是取值為0的，因此都會被多項式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);

2.因此，證明方只要能證明整除的結果的確是多項式，那就能證明，門約束多項式和一致性多項式在群H所有元素上取值為0，即所有約束關系成立，即電路邏輯成立；

3.可以知道的是t(X)的階最高為3n，但是用于計算承諾的CRS只到了n的級別，因此需要把多項式t(X)拆分，然后單獨計算承諾值。

上圖表示了PLONK算法了證明方P的一些操作，主要根據多項式承諾的協議，前面P算出了多個多項式在點x=z處的值是多少，現在要用多項式承諾協議去證明，這些計算是正確的，需要說明的是：

1.為了減少驗證方V的操作復雜度，t(X)的分子部分r(X)在x=z處的值，P計算好，然后驗證方直接驗證，其他的操作類似；

2.v的值看起來是為了更安全；

3.Wz(X)對應多項式協議里的CreateWitness操作，證明這些多項式r(X),a(X),b(X)等在x=z處的值確實等于r,a,b等，對Wzw(X)同理，并返回承諾值。

Verify

至此，證明方P的所有操作都完事了，接下來都是驗證方V的操作。

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作，主要重新生成相關的參數，確保證明方P沒有作惡。需要說明的是：

1.從輸入看，比較清晰，就是一些公開的輸入和證明方P的證明輸出；

2.根據輸入，生成置換校驗過程中需要的一些參數

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作，對于一些公開的，并且計算復雜度很小的多項式，其在x=z處的值還是需要自己計算，更為方便。需要說明的是：

1.根據證明方P的過程來看，驗證方V的核心工作就是驗證兩個多項式承諾；

2.兩個多項式承諾驗證需要兩個配對，可以通過一個參數組合成一個配對，即μ；

3.在驗證前，先計算Wz(x),Wzw(x)的分母在x=z處的值，兩部分，減數和被減數，分別對應,。μ作為系數的，就是對應Wzw(X)多項式的。

4.最后通過一個雙線性配對操作完成兩個多項式承諾的驗證。

結束

至此，PLONK算法的協議原理已全部分享完成，公式很密集，但是細分下來，又很有層次感。能堅持看完，已實屬不易。各位讀者有什么不同的簡介，還請指教，謝謝。

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