你可能不知道隱藏在楊輝三角形中的 10 個秘密！_ONS:ION

楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現于南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數學家布萊茲帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。

楊輝三角的前10行寫出來如下：

楊輝三角的構建

Sora Ventures以未公開金額投資去中心化科學項目ResearchHub:金色財經報道，加密貨幣投資公司Sora Ventures在一份聲明中表示，該公司已向 Coinbase 首席執行官Brian Armstrong支持的去中心化科學 (DeSci) 項目 ResearchHub 投資了一筆未公開的資金。ResearchHub是研究人員開源其作品的最主要的社區平臺之一，該公司允許用戶獲得加密貨幣獎勵ResearchCoin (RSC)，以向科學界貢獻新知識。[2023/8/15 21:23:24]

在最上面一行的中央寫下數字1第二行，寫下兩個1，和上一行形成三角形隨后的每一行，開頭和最后的數字都是1，其他的每個數都是它左上方和右上方的數之和，就是說除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等于它的左上方與右上方兩個數字之和。

數據：比特幣UTXO總數達到1.37億，創歷史新高:金色財經報道，據區塊鏈分析公司Glassnode數據顯示，上周比特幣UTXO（未花費交易輸出）數量以11.7萬/月的速度增加，達到2022年12月以來最高值，UTXO總數也達到了1.37億歷史新高。

此外，比特幣Taproot使用率達到了歷史新高，上周有8.121%的交易花費輸出（spent output）使用了Taproot，不過市場高峰后Taproot腳本使用率降至2.872%，跌幅達到65%。[2023/2/24 12:27:14]

左對齊后的楊輝三角前兩列倒沒什么特別的地方，第一列均為1，第二列則為自然數。而第三列就是三角形數(Triangularnumber)。你可以想到，三角數就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，如下圖所示。

Binance與哈薩克斯坦國家銀行發布“中亞數字資產行業和DeFi現狀”雙邊報告:2月3日消息，Binance與哈薩克斯坦國家銀行今日提交了一份關于中亞數字資產行業和DeFi狀況的雙邊報告。這份聯合報告分析了加密貨幣的采用、一般的DeFi趨勢和本地數字資產行業，還包括獨聯體國家的監管環境，以及需要密切監管的主要趨勢。其中關鍵是對技能和技術的投資，以了解DeFi帶來的挑戰/機遇，還包括預言機用于支持智能合約的數據來源和用戶的非理性行為。聯合報告強調了金融和數字素養對于降低風險的重要性，還包括需要發展監管機構和執法機構的專業知識，以建立監管設計和進一步監督的相關能力。[2023/2/3 11:45:53]

NFT 交易平臺 EZswap 完成 100 萬美元 Pre-seed 輪融資:1月26日消息，NFT 交易平臺 EZswap 宣布已完成 100 萬美元 Pre-seed 輪融資，投資機構未披露。

據悉，EZswap 由社區驅動，是以太坊和 Polygon 生態的去中心化 NFT 交易平臺。EZswap 代碼已經過安全公司 Beosin 審計，將于 1 月底推出正式產品，且將聯合 Galxe 和 Polygon 開展第一次公開市場活動。[2023/1/27 11:31:29]

三角形數(圖自維基)類似地，第四列是四面體數(Tetrahedralnumber)，也叫三角錐體數。顧名思義，它們代表由三角形構成的四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數。

Curve新增multiBTC/WBTC/sBTC池:金色財經報道，Curve新增multiBTC/WBTC/sBTC池，并發起為該池添加流動性激勵的提案投票。

據悉，multiBTC是通過Multichain從比特幣網絡跨鏈至以太坊的比特幣封裝資產。[2022/12/18 21:52:05]

圖自維基秘密Billions項目組3：11的冪

楊輝三角還揭示了11為底的冪的值。你要做的就是將每一行的數字擠壓到一起。前5行足夠簡單，但出現兩位數的時候該怎么辦呢？

事實證明，你要做的就是將十位數加到它左側數字上，比如下圖所示的是第六行中出現了上面的情況，如何進行移動以獲得11的值

如果出現了三位數同樣進位處理即可。

秘密Billions項目組5:斐波那契數列

為了揭示隱藏的斐波那契數列，將左對齊的楊輝三角對角線相加。比如下圖楊輝三角中發現的斐波那契數列前九個數：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

按線條所示相加結果即為斐波那契數列秘密Billions項目組7:組合數學

或許楊輝三角中發現的最有趣的關系就是我們如何利用它找到組合數。

楊輝三角的前六行寫成組合數的表達形式回憶一下從n個不同元素中選k個元素的組合公式。我們發現，對于楊輝三角中的每一行數字，從零開始計數，n是行數，k是在這一行中的位置。

所以，如果你想計算4選2，看第5行，第3個數，你會發現，答案是6.

秘密Billions項目組9:二項式定理

(x+y)的冪運算是很酷，但我們多久才會需要解這樣的題呢？很有可能，不太經常需要。如果我們能夠從上一個章節的結論中總結出一個更有用的形式，會不會更方便？好吧，其實這就是二項式定理：

這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。

更具體內容請見文章《利用楊輝三角形來解釋二項式定理》

秘密#10:與概率之間的聯系—二項式分布

二項式分布描述了具有兩種可能結果的實驗的概率分布。事實上，楊輝三角的每一行也能揭示了這樣的清晰，以最經典就是扔一枚硬幣為例吧。

如果考慮拋3次硬幣，就會有8種可能發生的事件：

但其實可以分為4類情況：

3次反面——只有1次發生2次正面和1次反面——有3次發生2次反面和1次正面——有3次發生3次正面——只有1次發生這注意1,3,3,1正是楊輝三角的第4行。同樣如果拋5次硬幣，出現3正2反的事情會出現10次，這也是出現在了楊輝三角第6行。

如果設拋硬幣得到正面概率為p，反面概率為1–p。想知道扔到正面的可能性，我們可以使用二項式分布的概率質量函數找到概率的分布，其中n是試驗次數，k是成功次數。

二項式分布的概率質量函數嗨，這看起很熟悉啊！這幾乎和我們前面提到的二項式定理是一樣的公式，只是沒有求和公式，同時x和y被p和1-p代替了。

假設成功的概率是0.5(p=0.5)，我們計算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。

在公式中代入n=3、k=0,1,2,3，得到下面計算結果，請注意楊輝三角里的組合數：1,3,3,1：

扔到正面0次、3次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，這與上面分析結果是一致的。

這便是看似簡單的楊輝三角里的10個秘密，是不是很精彩啊！但這并不是終點，還有另外更有趣的性質隱藏其中，或許未來我們繼續前行，一道再探索吧。

本文作者：姚高華、李千蔚

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