你可能不知道隱藏在楊輝三角形中的 10 個秘密！_ION:BILL

文章來源于遇見數學，作者遇見數學翻譯小組

翻譯:姚高華校對:李千蔚

英文:https://sourl.cn/qZZiVA

楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現于南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數學家布萊茲帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。

楊輝三角的前10行寫出來如下：

楊輝三角的構建

在最上面一行的中央寫下數字1第二行，寫下兩個1，和上一行形成三角形隨后的每一行，開頭和最后的數字都是1，其他的每個數都是它左上方和右上方的數之和，就是說除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等于它的左上方與右上方兩個數字之和。

去中心化社交協議Nostr賬戶總量突破500萬，過去兩周增長超65%:金色財經報道，據Nostr.Band數據顯示，去中心化社交協議Nostr賬戶數已突破500萬，本文撰寫時達到5,441,105個，其中在主頁設置個人簡介的賬戶數接近95萬。歷史數據顯示，Nostr賬戶總量于2月底超過300萬，這意味著過去兩周漲幅超過65%。[2023/3/17 13:10:35]

左對齊后的楊輝三角

前兩列倒沒什么特別的地方，第一列均為1，第二列則為自然數。而第三列就是三角形數(Triangularnumber)。你可以想到，三角數就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，如下圖所示。

Web3玩家共創游戲創企Strider融資550萬美元:2月21日消息，Web3玩家共創游戲初創公司Strider完成550萬美元融資，Makers Fund和Fabric Ventures領投，Shima Capital、Sfermion、Magic Eden和數家基金參投，截止目前該公司的融資總額已達到850萬美元。

Strider聯合創始人Andrew N. Green曾是知名風投a16z合伙人，他們最初希望構建一個DAO，由代幣持有者共同治理基于故事驅動的游戲社區，但后來開始回歸游戲本源，據悉目前已建立了一些早期加密基礎設施，以支持內容所有權和加密貨幣獎勵。（Venture Beat）[2023/2/21 12:20:04]

三角形數(圖自維基)

類似地，第四列是四面體數(Tetrahedralnumber)，也叫三角錐體數。顧名思義，它們代表由三角形構成的四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數。

Ari Paul：BTC在2024年底會超過11萬美元:金色財經報道，區塊鏈投資公司Blocktower Capital創始人Ari Paul在社交媒體上稱，我認為BTC在2024年底會超過11萬美元。(目前的價格是23000美元）。 如果我們只考慮當前的周期，感覺是相對激進的預測，但放大到2017年，感覺是相當合理的。我們現在已經有5年的價格壓縮期了。沒有什么是可以保證的，沒有人知道未來，我只能提供有根據的猜測。要怎樣才能做到這一點呢？目前BTC市值為4430億美元，我們將有大量新的加密貨幣交易產品（基金、交易所產品等），可以像GBTC那樣帶來可觀的法幣收入。

此外，11萬美元將是2021年ATH的2倍。在目前的宏觀環境下，這對我來說是可信的，但具有挑戰性。如果我們回到宏觀風險上，只是回到2021年狂熱的一半，11萬美元感覺是相當保守的。

這個預測如果是錯的？如果我們出現全面衰退，下個季度股票下跌30%，我的基本情況將是BTC的新低點。 也許我們在2024年底低于12000美元，而不是高于110000美元。 還有許多其他風險。[2023/1/29 11:34:38]

阿迪達斯將于11月16日發布“全新Web3旅程”:金色財經報道，據阿迪達斯的無聊猿 BAYC #8774 二創 NFT “Indigo Herz”官方社交媒體賬戶披露信息，阿迪達斯將在 11 月 16 日“開箱”全新 Web3 旅程，同時還鏈接了阿迪達斯元宇宙官方網站。Indigo Herz 寫道：“我們如何利用遺贈來激發未來？什么是不可能的？大概什么都沒有。我們，來了。” 此外，Indigo Herz 還披露一些其他合作信息，并補充稱：“阿迪達斯接下來要做什么，新的面貌、新的戰略、對下一步的可視化正在醞釀之中。未來的日子里，在 CONFIRMED、adidas Originals 和其他合作伙伴支持下，全世界將看到我們前進的方向。未來非常有趣。”[2022/11/8 12:29:43]

圖自維基

秘密Billions項目組3：11的冪

aUSD已跌破0.01美元，已嚴重脫錨:8月14日消息，據CoinGecko數據顯示，aUSD已跌至0.0097美元，已嚴重脫錨。ACA跌至0.28美元，24小時跌幅達11.1%。[2022/8/14 12:24:10]

楊輝三角還揭示了11為底的冪的值。你要做的就是將每一行的數字擠壓到一起。前5行足夠簡單，但出現兩位數的時候該怎么辦呢？

事實證明，你要做的就是將十位數加到它左側數字上，比如下圖所示的是第六行中出現了上面的情況，如何進行移動以獲得11的值

如果出現了三位數同樣進位處理即可。

秘密Billions項目組5:斐波那契數列

為了揭示隱藏的斐波那契數列，將左對齊的楊輝三角對角線相加。比如下圖楊輝三角中發現的斐波那契數列前九個數：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

按線條所示相加結果即為斐波那契數列(圖自維基)

秘密Billions項目組7:組合數學

或許楊輝三角中發現的最有趣的關系就是我們如何利用它找到組合數。

楊輝三角的前六行寫成組合數的表達形式

回憶一下從n個不同元素中選k個元素的組合公式。我們發現，對于楊輝三角中的每一行數字，從零開始計數，n是行數，k是在這一行中的位置。

所以，如果你想計算4選2，看第5行，第3個數，你會發現，答案是6.

秘密Billions項目組9:二項式定理

(x+y)的冪運算是很酷，但我們多久才會需要解這樣的題呢？很有可能，不太經常需要。如果我們能夠從上一個章節的結論中總結出一個更有用的形式，會不會更方便？好吧，其實這就是二項式定理：

這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。

秘密#10:與概率之間的聯系—二項式分布

二項式分布描述了具有兩種可能結果的實驗的概率分布。事實上，楊輝三角的每一行也能揭示了這樣的清晰，以最經典就是扔一枚硬幣為例吧。

如果考慮拋3次硬幣，就會有8種可能發生的事件：

但其實可以分為4類情況：

3次反面——只有1次發生2次正面和1次反面——有3次發生2次反面和1次正面——有3次發生3次正面——只有1次發生這注意1,3,3,1正是楊輝三角的第4行。同樣如果拋5次硬幣，出現3正2反的事情會出現10次，這也是出現在了楊輝三角第6行。

如果設拋硬幣得到正面概率為p，反面概率為1–p。想知道扔到正面的可能性，我們可以使用二項式分布的概率質量函數找到概率的分布，其中n是試驗次數，k是成功次數。

二項式分布的概率質量函數

嗨，這看起很熟悉啊！這幾乎和我們前面提到的二項式定理是一樣的公式，只是沒有求和公式，同時和被和代替了。

假設成功的概率是0.5(p=0.5)，我們計算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。

在公式中代入n=3、k=0,1,2,3，得到下面計算結果，請注意楊輝三角里的組合數：1,3,3,1：

扔到正面0次、3次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，這與上面分析結果是一致的。

這便是看似簡單的楊輝三角里的10個秘密，是不是很精彩啊！但這并非終點，它還有另外更神奇的性質隱藏其中，等待我們未來繼續探索吧。

來源：遇見數學

編輯：他和貓

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