時間序列該如何權衡平穩性和記憶力？_比特幣:ADF

許多預測模型都要求時間序列具有一定的一致性，即“平穩性”。平常的轉換，即整數階差分(譬如，在金融學中表現為建模收益而不是絕對價格)，消除了數據中的記憶，從而影響了建模的預測能力。

本文概述了分數微積分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平穩性和有意義的記憶之間做出權衡。

一般而言，我們會把一個給定的時間序列理解為一個隨機過程產生的樣本，并試圖推斷出其分布及統計數據以建立一個預測模型。

建立隨機過程的預測模型是為了平衡樣本的特殊性和一般性：該模型根據一般模式的背景對給定的序列做出解釋。

GemSwap將于北京時間4月13日14點開啟第二次IFO:據官方消息，Zksync Era網絡上的GemSwap將于北京時間2023年4月13日14點開啟第二次IFO。GemSwap第一次IFO上線最高漲幅1000%，GemSwap的IFO合約是目前ZkSync Era最安全的合約，合約開源，開發者無法提取超過硬頂部分的金額。

GemSwap是一個去中心化的交易所，采用流動性挖礦的方式激勵用戶，持有平臺代幣可以分得平臺協議收入，以ETH形式獲得，截止目前根據defillama顯示數據TVL 2.7M，市值僅1M不到。[2023/4/13 14:01:09]

比一般預測回歸更具體的是，由于時間結構的原因，時間序列一般具有其固有順序。任何給定的實例都反映了其發展變化情況，即過去跟蹤記錄的特定記憶。

美國法官延長SBF在消息應用程序上的保釋限制時間至2月21日:2月10日消息，美國地區法官Lewis Kaplan周四在聽證會上延長了一項禁令，禁止前FTX首席執行官Sam Bankman-Fried（SBF）在欺詐指控候審期間與他曾經控制的公司的員工聯系，并使用加密消息技術，這些保釋限制將持續到2月21日，并指示雙方在2月13日之前解釋他們如何確定SBF不會刪除電子信息。

Kaplan在聽證會上說，“我對防止可能的證人篡改的興趣遠遠大于被告的便利。仍然有蝸牛郵件和電子郵件，還有各種各樣的溝通方式，它們不會帶來同樣的風險。”

此前2月1日消息，法官Lewis Kaplan發布了臨時禁令，禁止SBF聯系FTX或其對沖基金Alameda Research的任何現任或前任員工。2月7日，SBF的法律團隊和檢察官達成協議，修改了有關SBF使用電子通訊的保釋條件。2月8日，法官在一份信件動議回應中拒絕在SBF保釋條件中放寬對其通訊限制的請求。[2023/2/10 11:59:02]

P2E游戲PlaceWar將完整版V1發布時間推遲至1月下旬:1月8日消息，元宇宙P2E游戲PlaceWar宣布將完整版V1的發布推遲到1月下旬。開發人員將根據2021年12月31日2022年至1月6日期間的內部測試結果進行調整并采取預防措施。

據此前報道，PlaceWar宣布完成180萬美元私募融資，AC Capital、 AU21、 Woodson Game、Exnetwork Capital、Icetea Labs、IoTex、Kyros Ventures、 LD Capital、 Lucid Blue Ventures、 Megala Ventures、Metrix Capital、ReBlock、RoseOn、X21等參投。

PlaceWar是一個戰略型多鏈Play-to-Earn社交游戲，旨在通過開放性的社區及社交功能，建立擁有開放的互聯網文化的元宇宙。[2022/1/8 8:34:58]

平穩性

薩爾瓦多總統：將于當地時間21點購入21枚比特幣:12月22日消息，薩爾瓦多總統Nayib Bukele發推稱，將于當地時間今日21點再次購入21枚比特幣。Nayib Bukele表示，薩爾瓦多的整體面積為21,000平方公里，而今天是21世紀21年的最后一個21日。[2021/12/22 7:55:59]

為了確定生成過程的一般模式并映射給定的排列，在實際建模之前我們通常將此特定序列的記憶作為預處理步驟的一部分予以刪除。

在機器學習領域的監督學習中，該序列可以發現一般性結構并對給定的實例與標記訓練集中更多的樣本進行匹配。

在數學領域,過程的統計特性不會因時間順序的改變而變化，這意味著系列不會隨時間推移而呈現出一種趨勢。該概念被稱為平穩性。

聲音 | CSW回應吳忌寒：現在是真正的礦工時間:吳忌寒今日表示，比特幣現金社區正在聯手將CSW（Craig Steven Wright，即澳本聰）趕出社區。隨后CSW回應稱：“吳忌寒將看到看到PoSM將不再有效，現在是真正的礦工時間，而不是礦池的。[2018/11/10]

檢查時間序列平穩性的方法有很多種:

觀察線形圖，尋找一段時間內的明顯的趨勢。比較數列中各種分割的基本匯總統計數據。觀察自相關圖：曲線下降越快，滯后越明顯，序列的非平穩性階數越小。最常見的平穩性統計檢驗是單位根的ADF檢驗。

單位根是指初始條件或外部沖擊不會隨著時間的推移而消散，而是通過該序列傳播，并通知所有后續值。該含義從直觀上正式地解決了在單位圓上的過程特征方程。

對于給定的置信水平，ADF測試零假設“序列中存在單位根”以及序列穩定性的替代。它直接證明了，單位根的存在確實意味著該序列的不穩定。

分數階微積分

事實上，在17世紀牛頓和萊布尼茨發明微積分后不久，數學家們就對分數階導數的使用進行了探索，將微分或積分的順序從自然數擴展到實數。然而，其應采納赫斯特和曼德爾布羅特在20世紀的成果，為分數微積分找到初期的自然應用，并使其與霍斯金和格蘭杰于20世紀80年代創建的Arfima模型一同進入金融領域。

大約在1730年，歐拉就該歸納給出有史以來第一個啟發式，通過函數將二項式系數推廣到實數階。后來，在黎曼和劉維爾的積分理論中，重復微分的柯西公式使之變得更加嚴謹。

這里，我們僅僅給出了時間序列差分應用程序的形式啟發式：

B表示滯后操作符，即對于t>1,BX_t=X_{t-1}和某個時間序列X={X_1，...}。一階元素階差分可以用恒等算子I表示，如下：

金融時間序列建模的應用

在金融領域，時間序列起主導作用。為了更好地理解分數階差分的特征，我們將其應用于一些典型的金融時間序列。

利用以下代碼，將差分算子的上述形式序列的展開式應用到指定實階d和固定窗口大小的時間序列上，得到變換后的序列，然后只需將一個pandas時間序列輸入參數階和lag_cutoff的ts_difference函數中即可。

2016-2018年比特幣的價格(紅色，右軸)，以及部分衍生品(藍色陰影)

正如你可能已注意到的，比特幣的價格在2017年和2018年經歷了一次明顯的炒作。實際上，看看一階差分，我們發現價格在某些日期上漲了2500美元以上。上圖展示了一些分數階差分的平滑函數插值。這似乎很奇怪，在如此強勁的趨勢下，約0.4的弱差分實際上竟足以使該序列呈平穩型：給定樣本的ADF統計量為-5，其已低于DFt-分布的臨界值-2.86,因此在置信度為95%下，該序列可以假定是平穩的。的確，隨著財富的來回變動，它很快就變得吝嗇起來。

低階差分足以滿足平穩性的結論與其他許多金融時間序列相似。

為了說明平穩性和記憶之間的權衡，我們可以進行適當的可視化，并將ADF測試統計數據以及與原始序列的相關性繪制成具有不同階差變換的序列。。

對于商品期貨、匯率、指數等各種典型的金融序列，這種對比清晰地表明了差階滿足金融建模的平穩性條件，同時保留了特定的記憶結構，從而保持了原始序列的統計動態。

ADF檢驗統計量(左軸，紅色曲線)和線性相關(右軸，矢狀花藍色曲線)與原序列進行各種分數階差分，應用于各種金融時間序列。石板灰中的常數線表示ADF檢驗的顯著性水平為95%。

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