數字簽名：基于橢圓曲線的簽名方案_數字資產:INB

在數字時代中，數字化文檔的認證性、完整性和不可否認性，是實現信息化安全的基本要求。數字簽名則是滿足上述要求的主要方式之一，亦是現代密碼學的研究內容之一。

數字簽名有哪些形式？基于密碼學的數字簽名優勢幾何？有哪些常用的數字簽名實現方案？使用過程中又潛藏何等風險？我們將先從理解概念為始，再為大家逐步深入介紹。

區塊鏈百科No.34：基于橢圓曲線簽名方案

隨著計算機信息處理能力的不斷提高，對密鑰長度的要求也越來越高，這個問題對于存儲能力受限的系統來說顯得尤為突出。

橢圓曲線密碼體制（ECC）的提出改變了這種狀況，它可以用更短的密鑰提供與其他體制相當的或者更高級的安全，并已成為迄今被實踐證明安全、有效、應用較廣的3種公鑰密碼體制之一。本文將繼續為大家介紹基于橢圓曲線的數字簽名方案。

富國銀行：數字資產是“與互聯網、汽車和電力相媲美的創新”:8月8日消息，美國第四大銀行富國銀行發布了一份題為“了解加密貨幣”的特別報告，將數字資產與“互聯網、汽車和電力”的發明進行了比較，指出數字資產與互聯網、汽車和電力一樣具有創新性。報告稱數字資產為“新互聯網的基石”，數字資產的發展將帶來“新的可能性和投資機會”。

富國銀行還在報告中對當前版本的互聯網如何改造郵局、音樂商店、固定電話和當地新聞進行了比較， 它利用這些比較試圖解釋“價值互聯網”將如何重塑當地貨幣、支付網絡、證券、財產和合約。 該報告指出，數字資產行業面臨的主要風險是額外的監管、技術和業務失敗、處理和存儲數字資產的運營風險、價格波動以及有限的消費者保護。（Cryptoslate）[2022/8/8 12:09:09]

橢圓曲線在代數學和幾何學上，已被廣范研究了150年之久，有堅實的理論基礎。

前ConsenSys數字資產架構師加入Coinbase任產品經理:曾任以太坊開發商ConsenSys全球數字資產架構師的EjaazAhamadeen在推特上宣布將加入Coinbase加密團隊任產品經理一職。

據了解，Ejaaz曾在ConsenSys領導其全球數字資產架構的搭建，任職期間，Ejaaz設計了微觀經濟激勵系統，以便代幣化的數字資產能在以太坊鏈上運行；此外Ejaaz還在德勤（Deloitte）會計師事務所做過技術咨詢，分析區塊鏈、初創企業生態系統的創新和數字架構，目前其領英上已更新加入Coinbase的履歷動態。[2020/7/6]

所謂橢圓曲線是指維爾斯特斯拉（Weierstrass）方程：

聲音 | 歐洲央行管委維勒魯瓦：將在三月份呼吁實施數字貨幣項目:據金十消息，歐洲央行管委維勒魯瓦表示，將在三月份呼吁實施數字貨幣項目。[2020/1/28]

所確定的平面曲線，其中a、b、c、d、e屬于域F，其可以是有理數域Q、復數域C，還可以是有限域GF（p）。

橢圓曲線是其上所有點（x、y）的集合，外加一個無窮遠點O（定義橢圓曲線上一個特殊的點，記為O，它為仿射平面無窮遠的點，稱為無窮遠點。在xOy平面上，可以看做平行于y軸的所有直線的集合的一種抽象）。

密碼學中普遍采用的是有限域上的橢圓曲線，它是指橢圓曲線方程定義式中，所有的系數都是在某一有限域GF（p）中的元素。它最簡單的公式為：

行情 | 數字貨幣早班車:截至8時05分，BTC全球均價 4885.85 美元，24小時漲幅 17.71 %；EOS全球均價 5.04 美元，24小時漲幅 19.79 %；ETH全球均價 163.70 美元，24小時漲幅 15.82 %。市值排名前百幣種中，24小時漲幅榜前五的是：RDN 24小時漲幅 181.88 %、LOOM 24小時漲幅 75.72 %、PPT 24小時漲幅 52.21 %、BCH 24小時漲幅 45.59 %、ETP 24小時漲幅 32.32 %。據統計，全球數字貨幣已超過 2800 種，TOP100總市值為 1,756.54億美元。[2019/4/3]

該橢圓曲線上只有有限個離散點，設為N，則N稱為橢圓曲線的階為N。N越大，安全性越高。基于此，橢圓曲線的圖示可以表示如下：

歐盟或單獨監管數字貨幣:據CNBC報道，歐盟金融服務專員Valdis Dombrovskis周一稱，如果來自于數字貨幣行業的風險無法在全球層面上得到處理，那么歐盟就準備單獨對其進行監管。今年3月份，20國集團(G20)的財政部長和央行行長將在布宜諾斯艾利斯召開一次會議，預計數字貨幣監管將成為此次會議的議程之一。[2018/2/27]

當然，基于不同變量值，橢圓曲線還有其他的表示形式：

當我們仔細觀察這些曲線時，能發現一些有趣特性：（1）對稱性，即曲線上的任何一點都可以在x軸上反射，并保持曲線不變；（2）任何非垂直直線與曲線的交點至多有三個。

我們可以把這條曲線想象成一場桌球游戲。在曲線上取任意兩點并通過它們畫一條直線，它將與曲線相交于另一個位置。在這個桌球游戲中，你在A點拿一個球，把它射向B點，當它擊中曲線時，球要么直接向上反彈(如果它在x軸以下)，要么直接向下反彈(如果它在x軸以上)到曲線的另一邊。我們可以把球看做在兩個點間移動，曲線上的任意兩點碰撞可得到一個新的點。

A·B = C

或者可以用某一個點自身不斷碰撞出新的點。

A·A = B

A·C = D

……

在這個過程中，一個初始點經由n次運算會得到最后到達的點，當你只知道這兩個點的值，要找出n是很難的。

這就像一個人在房間里隨機玩一段時間桌球游戲，對他而言，按照上面描述的規則一遍又一遍地擊球是很容易的。但如果有人走進房間，球剛好結束到達一個點，即使他知道所有的游戲規則，以及球從哪個點開始，也不能確定球到達此處所被擊中的次數。容易正向計算，難以反向計算，這也是陷門函數的基礎。

1985年，Koblitz和Miller將橢圓曲線引入密碼學，提出了基于有限域GF（p）的橢圓曲線上的點集構成群，在這個群上定義離散對數難題并構造出基于其的一類公鑰密碼體制，即基于橢圓曲線的離散密碼體制，其安全性基于橢圓曲線上離散對數問題的難解性。

我們以基于橢圓曲線的ECDSA數字簽名實現方案為例，闡述其具體的實現過程。

密鑰生成算法

假設GF（p）為有限域，E是有限域GF（p）上的橢圓曲線。選擇E上一點G∈E，G的階為滿足安全要求的素數n，即nG=O（O為無窮遠點）。

選擇一個隨機數d，d∈[1，n-1]，計算Q，使得Q=dG。那么公鑰為（n，Q），私鑰為d。

簽名算法

假設待簽名的消息為m，經過如下計算過程，簽名者對消息m的數字簽名為（r，s）。

驗證算法

簽名接收者B對消息m簽名（r，s）的驗證過程如下：

判斷r和r1的關系，如果相等，則簽名有效；否則，簽名無效。

除了上述介紹ECDSA方案之外，基于橢圓的數字簽名方案還有很多，而類似DSA的其他方案例如Schnorr、EIGamal等方案也都被移植到橢圓曲線有限群上。

從上述介紹可知，數字簽名的安全性依賴于基于橢圓曲線的有限群上的離散對數難題。

與前章所述RSA數字簽名和基于有限域離散對數的數字簽名相比，基于橢圓曲線的數字簽名方案具有如下特點：在相同的安全強度條件下，簽名長度短，密鑰存儲空間小，適用于存儲空間有限，帶寬受限、要求高速實現的場合。

此外，橢圓曲線資源豐富，同一有限域上存在著大量不同的橢圓曲線，這也為安全性增加了額外的保障。

正是由于橢圓曲線具有豐富的群結構和多選擇性，并可以在保持和RSA、EIGamal體制同樣安全性的前提下大大縮短密鑰長度，因而有著更為廣闊的應用場景。

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