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用小學數學知識理解 RSA 加密算法的數學原理_ARK:TChain

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原文標題:《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文:王建碩

前不久 Jason 同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解 Web3 的朋友們上了 5 節硬核的數學課。從自然數開始,一直講明白了 RSA 非對稱式加密的細節。我再回顧一下,嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

(前方數學預警,但是我保證努力限制在小學數學知識范圍以內)

3 * 7 算出 21 容易嗎?容易。反過來,21 是哪兩個數的乘積?也不難,但肯定比算 3 * 7 麻煩。

同理 967 * 379 = 366493 容易。反過來,366493 是哪兩個數乘積?難多了。

隨著乘積的不斷變大,算乘法的難度略微增大,算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘,手工算不容易,但對計算機來說不難,結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來,把這個 200 位的數字分解?基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了,光從一數到 80 位的數字,按照現在的計算水平,就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以,簡單結論是,超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理,加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理,就是一個精妙絕倫的 RSA 加密算法。

這個東西的數學名稱叫「取模」,就是算「一個數除以 n 以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念,叫做 n 進制取個位。比如 n = 8,八進制下只取個位,超過的十、百、千位數就直接扔掉,那么 15 這個數本來八進制就是 17,只取個位,就是 7。所以,我們規定,15 在八進制個位模式下,就等于 7。同樣,23,31 等,在 8 進制取個位下,都等于 7。這個「等于」,不是絕對數字的相等,而是經過了 n 進制取個位,我們用 ≡ 表示這種特殊的等于(正規說法叫做「模 n 同余」,可以忽略)。

微軟與 Space and Time 合作為 Azure Cloud 添加實時區塊鏈數據:金色財經報道,微軟與去中心化數據平臺 Space and Time 合作,通過 Microsoft Azure Marketplace 向開發人員提供實時區塊鏈數據。通過 Azure 市場的一鍵式部署,開發人員能夠訪問、管理和分析區塊鏈數據。企業可以在不改造現有技術架構的情況下開發區塊鏈。[2023/4/20 14:14:41]

這樣,如果 n 是 4 萬公里的話,數字的世界變成像地球一樣,是一個循環。在赤道上可以向東走 1 萬公里,和向西走 3 萬公里結果是一樣的,甚至向西走 7 萬,11 萬,15 萬公里的終點是一樣的,就是一圈一圈的轉就是了。所以 4 萬進制取個位, 1 萬 ≡ -7 萬 ≡ -11 萬 ≡ -15 萬。注意,畢竟走 7 萬公里和走 11 萬公里不相等 ( = ),但是在地球赤道上走,他們的效果相等 ( ≡ )。

例子:比如在 20 進制取個位下,3 * 7 的結果就是 1 (本來是 21,結果走過頭了, 又繞回來,回到了 1 )。

這有啥用呢?神奇的事情在于,在 20 進制取個位下,任何數乘以 3 再乘以 7,就相當于乘以 1,就是這個數本身!

比如 12 * 3 = 36 ;36 % 20 = 16; 16 * 7 = 112; 112 % 20 = 12

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變回原來了。神奇嗎?

在 20 進制取個位下,你把一個數乘以 3,我不用除以 3,而是繼續乘以 7 ,就是原來那個數。不僅僅是 7,我把乘 3 的數字乘以 67,127,或者 187。。。。它都會回到原來那個數,只是轉的圈數多了些。

這就使得,如果兩個數在一個 n 進制取個位下乘積為 1,這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎?

比如數字大一點,在 366492 進制取個位下,任何數乘以 967 得到的數再乘以 379,就是它本身。

如果我把 e = 967 當做公鑰,d = 379 當做密鑰,我只需要告訴別人( e = 967, n = 366492)這兩個數字,別人乘積以后交給我,我再乘以 d ,然后。。。。

不過有一個小問題,如果給出了(e = 967, n = 366492)這兩個數,別人除以 e 不就得到了我的秘鑰 d 嗎?畢竟,你可以算乘法,別人就可以算除法,而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

DeFi收益聚合器Autofarm完成500萬美元私募融資:1月16日消息,DeFi收益聚合器Autofarm宣布完成500萬美元私募融資,但未披露融資細節。該輪融資旨在將高級人工智能(AI)和機器學習(ML)技術集成到Autofarm,使Autofarm能夠動態分析現實世界的數據,識別盈利機會,并為跨多個區塊鏈網絡的最佳資產分配做出自主決策。[2023/1/16 11:14:13]

接下來要做的事情,就是想辦法把這自己的密鑰藏起來,讓別人拿到 n 進制數,還有公鑰 e,沒有辦法算出我的密鑰,但是依然可以用 e 加密,我可以用私鑰 d 解密不就好了?

我們引入 φ(n) 。它的定義可厲害了,是「小于 n 的正整數中和 n 互質的數的個數」。這個定義忽略就好,只要知道,如果 n 是兩個素數 p, q 的乘積的話, φ(n) = (p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大秘密,居然在 n 進制取個位下,如果 m 和 n 互為質數,m 的 φ(n) 次方 居然等于 1:

m ^ φ(n) ≡ 1

兩邊都取 k 次方:

m ^ (k * φ(n)) ≡ 1

兩邊都乘以 m :

m ^ (k * φ(n) + 1) ≡ m

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k * φ(n) + 1 是啥意思?就是這是一個「除以  φ(n) 余數為 1 」的數字。也就是說,只要找到 e*d 這兩個數,使得他們的乘積除以 φ(n) 余數為 1 就好。這個好找,有一個叫做輾轉相除法的方法,不過這里先略過。我們一般常常把 e 固定的設為 65537,然后就可以找到一個滿足的 d。

最后,也就是最驚艷的一步,如果我們能夠找到這樣的 e, d,我們把 e 和 n 告訴整個世界,讓他們在 n 進制取個位下,把要加密的數字 m 取 e 次方發給我,我對這個數再進行 d 次方,我就能得到 m。

(m ^ e) ^ d ≡ m

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

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就是說,如果我能無論用什么方法,找到一個進制 n,在這個 n 進制取個位下,能夠找到兩個數字 e 和 d,e 公開給整個世界,d 留給自己,同時還能讓任何數字 m 的 e 次方的 d 次方還等于原來這個 m,加密解密算法不就成立了嗎?就跟最早我說的那個乘以一個數,再乘以另一個數,總等于原來的數字一樣?

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于,e 和 n 給出了,d 也就給出了。

在這個新的算法中,e 給出了。n 給出了,但 e * d  ≡ 1 的進制,不是簡單地 n,而是和 n 同源,但是不同的 φ(n) 。正因為進制改了,所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法,而借用歐拉的驚天發現,做了兩次冪運算。

從 n 能不能算出來  φ(n) 呢?如果有能力分解 n 當然 φ(n) 唾手可得,把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從 n 能不能輕易地找到 p 和 q 呢?根據最早的大數不可分解,要想找到 100 個太陽燒掉都不夠用,p 和 q 好像是腳手架,算出來 n,算出來 φ(n) 就扔掉了。 那么  φ(n) 就是一個秘密。如果 φ(n) 是個秘密,有了 e 也找不到 d。

所以,整個算法是無比精巧的安全。

我們找兩個腳手架數字:p = 2, q = 7,算出 n = 2 * 7 = 14,  φ(n) = (2 - 1) * (7 - 1) = 6 。那兩個腳手架數字 p, q 在算出 n 和 φ(n) 后就退休了。找在 6 進制取個位下,e * d ≡ 1 好辦,e = 5, d = 11 就行 ( 5 * 11 = 55 = 6 * 9 + 1 ≡ 1)。

這樣,公布給全世界的數字就是 (e = 5, n = 14),保留給自己的就是 d = 11。φ(n) 千萬也不能告訴任何人。φ(n) 就如同總統,n 如同他的影子。世界只能看到他的影子,看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺,總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下,在 14 進制個位模式下,如果要傳遞的數字 m = 2,別人把 m ^ e 算出來,就是 2 ^ 5 = 32 = 2 * 14 + 4 ≡ 4

現在,4 就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是 11 。我拿到以后,算 4 的 11 次方,4 ^ 11 ≡ 4,194,304 % 14 ≡ 2 ,不就是別人要給我的那個數字嗎?前提是,我們認為 別人從 n = 14 無法分解成 2 * 7,否則就全露餡了。

14 肉眼可以看出等于 2 * 7。

這個數 n:

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559 

是 p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以 q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。 p 和 q 如同兩位門神,死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從 p,q 算出 φ(n) ,以及 e,d,卻都是舉手之勞。

如果知道 n 的組成是 p,q,我們按照上面的算法可以選出來 e 和 d:

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說,這個游戲,任何人要把一個數字 m 傳給我,只需要在 n 進制取個位下,對它進行 65537 次冪(m ^ 65537),我再把它進行 d 次冪,我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法,就是 RSA 加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

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