AMM 的一般理論：恒定乘積以外，其他數學函數能降低無常損失嗎？_AMM:Uniswap

研究自動化做市商AMM的一般理論，以探尋改善無常損失的方法。

原文標題：《AMM的一般理論》撰文：鄒傳偉，萬向區塊鏈首席經濟學家

以Uniswap為代表的恒定乘積AMM在加密資產市場取得了巨大成功，但也受無常損失之累。一些項目試圖在Uniswap的基礎上進行改進，比如引入預言機報價來降低無常損失，但尚未有公認的成功改進方案。

要更好地理解這些問題，需要回到AMM的一般理論：1.除了恒定乘積公式以外，還能采取其他數學函數嗎，這些數學函數應該滿足哪些要求？2.在其他數學函數下，也會有無常損失嗎？3.什么樣的數學函數是最佳的？4.AMM與加密資產市場的其他交易方式的核心區別是什么？

本文試圖回答這些問題，共分三部分：第一部分討論AMM的一般形式，第二部分討論AMM的若干特殊形式，第三部分比較AMM與加密資產市場的其他交易方式。

Camelot將于4月8日通過集成Algebra V2部署集中流動性AMM:金色財經報道，據官方推特，Arbitrum生態DEX Camelot將于4月8日開始啟動V2，V2將分三個階段啟動，第一階段（集中流動性AMM）將于4月8日部署，第二階段為UI優化，第三階段為集中流動性高效挖礦。另外，GRAIL公開銷售參與者的初始空投將在AMM發布后分發。

Camelot表示，沒有花費大量時間和資源從頭開始重寫clAMM，而是利用了高效的Algebra v2代碼庫。Algebrav2是一種集中流動性AMM，其工作方式類似于Uni v3，增加了一些自定義且高效的功能。[2023/4/7 13:49:46]

AMM的一般形式

為分析的簡單，本文只研究針對兩種加密資產的AMM，但相關研究很容易拓展到三種或三種以上加密資產的情形。

比特幣 NFT 市場 Gamma.io 宣布推出比特幣 ordinals 市場:3月21日消息，比特幣生態 NFT 市場 Gamma.io 宣布推出比特幣 ordinals 市場，支持用戶輕松在比特幣上創建和交易 ordinal inscriptions。據悉，Gamma 由 L1 上的 ordinals 協議和 L2 上的 Stacks 提供支持。[2023/3/21 13:16:14]

考慮兩種加密資產，分別稱為X和Y，并以加密資產X為記賬單位，也就是所有價格、市值的單位均為加密資產X。AMM的狀態體現為流動性池中兩種加密資產的數量，假設在某一時刻為(x,y)。在AMM的一般形式下，不管兩種加密資產之間如何交易，流動性池始終滿足

在流動性池狀態為(x,y)時，流動性池中兩種加密資產的市值之間的關系為

區塊鏈支付平臺e-Money的穩定幣eEUR在Osmosis AMM DEX上線:9月27日消息，丹麥金融科技公司、基于區塊鏈的支付平臺e-Money A/S宣布，其穩定幣eEUR成為基于Cosmos Hub的AMM平臺Osmosis上線的穩定幣。在e-Money成功完成V3升級后，其原生代幣NGM和穩定幣（特別是eEUR）現在可以在Osmosis AMM DEX上使用，并且已經在Osmosis DEX上建立eEUR和NGM流動性池。[2021/9/27 17:09:11]

(1)和(7)從不同角度刻畫了AMM，它們之間是相互等價的。換言之，通過限定流動性池中兩種加密資產的市值之間的函數關系，也能定義AMM。

(8)盡管是一個簡單分析，但對理解加密資產市值有豐富含義。第一，即使在加密資產數量不變的情況下，它們之間的交易會改變它們之間的價格關系，從而使加密資產總市值發生變化。

Cocos-BCX DeFi生態正式上線首款結合NFT的AMM平臺CROSWAP.COM:據官方消息，由Cocos-BCX生態投資的首款DeFi+NFT的去中心化AMM代幣兌換協議CROSWAP.COM于今日晚上8時正式上線。

CROSWAP在傳統AMM交易平臺的基礎上，把原有流動性憑證的FT（同質化代幣）改進為NFT（非同質化代幣），讓用戶的做市憑證從單純的數字進一步升級為數據。用戶可以通過LP NFT進而與其他的DApp進行數據交互，賦予NFT更多增值空間。而DApp可以通過代幣流動性憑證讓代幣價格和其產品通過NFT產生更大連接。

據悉，今晚將有多個DeFi項目與CROSWAP同期上線Cocos-BCX游戲公鏈主網。[2020/9/22]

總的來說，這一部分對AMM的一般形式的分析主要得到如下結論：

聲音 | Saifedean?Ammous：比特幣是擁有健全貨幣的自由市場中生存的最佳機會:經濟學家Saifedean?Ammous今日在其社交媒體表示，比特幣不是什么“炫酷”的新技術。它是一個丑陋的裝置，被優化為中性的、與無關的貨幣，而不是為了人們的用戶體驗。它不是人們想要的玩具，而是人們需要的藥。不管喜歡與否，這都是在一個擁有健全貨幣的自由市場中生存的最佳機會。[2018/12/6]

AMM的若干特殊形式

根據第一部分的討論，任何單調遞減凸函數均可以用來定義AMM。

為方便與Uniswap的比較，接下來使用一個等價表述

(16)說明，在其他條件一樣的情況下，α越大，無常損失的數值越小。這一點也通過對(15)的數值計算驗證：

表1：α對無常損失的影響

如果讓α取值為1/2，就得到Uniswap的恒定乘積公式，因此Uniswap屬于一類廣義AMM的特例。因為沒有任何一對加密資產在基本面上完全一樣，所以α=1/2沒有邏輯上的必然性。如果要降低無常損失，可以適當調高α。比如，如果加密資產X是穩定幣，加密資產Y是以太幣，α完全可以大于1/2，一個選項是α=2/3。在一般情況下，α可以通過AMM社區自治決定。

AMM與其他交易方式的比較

(2)可以等價表述為

引入如下函數

總的來說，AMM的核心機制是：流動性提供者基于算法承諾，為投資者提供關于交易價格和數量的確定性。這種確定性的代價是流動性提供者鎖定流動性并承擔無常損失。

為更好理解這一點，需要將AMM與拍賣機制相比較。在加密資產市場的各種交易機制中，只要存在訂單薄，不管有沒有做市商，其核心都是拍賣機制。接下來以Algorand采取的荷蘭式拍賣為例說明。盡管這個例子是出售資產，前文對AMM的分析是從購買資產的角度進行，但不同視角不影響分析邏輯。

荷蘭式拍賣也被稱為「減價式拍賣」：賣方由高往低喊價，直到有人愿意購買，此價即為成交價。在策略上可以證明，荷蘭式拍賣等價于第一價格封閉式拍賣。在第一價格封閉式拍賣中，所有競拍者同時提交「暗標」，從而沒有競拍者知道其他競拍者的出價。出價最高的競拍者獲得標的，并支付他的出價。

Algorand的荷蘭式拍賣與美國國債一級市場拍賣類似。美國國債一級市場采用荷蘭式拍賣有相當長歷史。從1929年-1992年，美國財政部使用「多重價格」荷蘭式拍賣。第一步：一級交易商提交自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量。第二步：所有競標將按到期收益率從低到高排列，直到意愿購買數量等于債券的供給數量，臨界到期收益率即為清算價。第三步：所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，購買價格根據各自的到期收益率計算。臨界到期收益率上的一級交易商按各自愿意購買的數量分配剩余額度。因此，在競標中勝出的一級交易商購買債券的價格是不一樣的。

1992年至今，美國財政部改用「單一價格」荷蘭式拍賣。「單一價格」荷蘭式的拍賣的前兩步與「多重價格」荷蘭式拍賣一樣。在第三步，仍是所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，但購買價格根據清算價計算。「單一價格」荷蘭式拍賣中引入了兩類競標：第一種是競爭性的，即競標者要同時說明自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量；第二種是非競爭性的，即競標者只需說明自己愿意購買的數量。在存在兩類競標的情況下，清算價的確定方法同上。但在債券額度分配上引入優先順序：先滿足非競爭性競標，再將剩余額度分配給競爭性競標，按提交的到期收益率從低到高分配。

Algorand的荷蘭式拍賣相當于「單一價格」競爭性競標。第一步：確定Algo拍賣數量以及起始競拍價格；第二步：競拍價格按時間線性遞減，在每個競拍價格上記錄競拍者愿意購買的數量，直到累計的愿意購買數量等于拍賣數量，臨界價格即為清算價；第三步：競拍價格高于清算價的競拍者勝出，按競拍價格從高到低分配Algo額度，價格統一為清算價。

圖1：Algo競拍價隨時間線性遞減

圖2：Aglo清算價的確定

從荷蘭式拍賣實踐不難看出，交易價格和數量由市場決定，在事前看是高度不確定性的，而AMM能提供這方面的確定性。對AMM與場內集中撮合、場外詢價成交等交易機制的區別，也可以按類似邏輯理解。

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